機(jī)械設(shè)計(jì)：什么是剛體?剛體模型與質(zhì)點(diǎn)模型的區(qū)別與聯(lián)系
本文來(lái)源：力學(xué)酒吧公眾號(hào)(ID：Mechanics-Bar)，作者：張偉偉 太原科技大學(xué)。
什么是剛體?剛體模型與質(zhì)點(diǎn)模型兩者都是理想化模型。
剛體是指在運(yùn)動(dòng)中和受力作用后，形狀和大小不變，而且內(nèi)部各點(diǎn)的相對(duì)位置不變的物體。剛體模型和質(zhì)點(diǎn)模型的區(qū)別如下：
1、定義不同
剛體是指在運(yùn)動(dòng)中和受力作用后，形狀和大小不變，而且內(nèi)部各點(diǎn)的相對(duì)位置不變的物體;
質(zhì)點(diǎn)模型，是用一個(gè)具有同樣質(zhì)量，但沒(méi)有大小和形狀的點(diǎn)來(lái)代替實(shí)際物體，這是對(duì)實(shí)際物體的一種科學(xué)抽象。
2、類別不同
剛體模型是物體;質(zhì)點(diǎn)模型是一種抽象表達(dá)。
3、存在形式不同
絕對(duì)剛體實(shí)際上是不存在的，只是一種理想模型，因?yàn)槿魏挝矬w在受力作用后，都或多或少地變形，如果變形的程度相對(duì)于物體本身幾何尺寸來(lái)說(shuō)極為微小，在研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)變形就可以忽略不計(jì);
質(zhì)點(diǎn)模型只是對(duì)實(shí)際物體的一種科學(xué)抽象，是不存在的。
4.質(zhì)點(diǎn)和剛體區(qū)別在它們的自由度上，點(diǎn)在空間只可能產(chǎn)生x，y，z三個(gè)方向的線位移，因此我們說(shuō)質(zhì)點(diǎn)有3個(gè)自由度;而對(duì)于剛體除了x，y，z三個(gè)方向的線位移外，還可以產(chǎn)生繞x，y，z三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，也成為角位移，因此我們稱剛體有6個(gè)自由度。
舉例來(lái)說(shuō)，研究人造衛(wèi)星的飛行軌跡，可以不考慮人造衛(wèi)星的形狀和大小，將衛(wèi)星簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理，它的位置可以用經(jīng)度、維度和高度3個(gè)量來(lái)描述(即3個(gè)自由度)。假如在衛(wèi)星上安裝一臺(tái)照相機(jī)，要對(duì)地面、或太空進(jìn)行拍照，那么衛(wèi)星的姿態(tài)就顯得比較重要了。此時(shí)僅用經(jīng)度、維度和高度3個(gè)量描述衛(wèi)星就不足以說(shuō)明拍照對(duì)象和角度，除此3個(gè)量之外，還需要對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)描述。
歐拉 (Leonhard Euler，1707-1783) 最早 (1760年) 用進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角和自轉(zhuǎn)角(合稱歐拉角)描述了剛體在三維歐氏族空間的繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)?？紤]下圖所示藍(lán)色坐標(biāo)系x，y，z為參考坐標(biāo)系，紅色坐標(biāo)系X，Y，Z是固定在剛體上，隨剛體一起運(yùn)動(dòng)，稱之為隨動(dòng)坐標(biāo)系。因此，認(rèn)為紅色坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)就代表了剛體的運(yùn)動(dòng)。
請(qǐng)與下圖對(duì)應(yīng)著看
假如紅色坐標(biāo)系的初始狀態(tài)與參考坐標(biāo)系重合(可配合動(dòng)圖理解)，認(rèn)為剛體運(yùn)動(dòng)可分解為三個(gè)步驟：
紅色坐標(biāo)系繞oz軸(與oZ軸重合)旋轉(zhuǎn)α 角度，稱為進(jìn)動(dòng)角，此時(shí)oX軸轉(zhuǎn)至oN位置處;
繞紅色坐標(biāo)系oN軸(即新的oX軸)旋轉(zhuǎn)β角度，稱為章動(dòng)角，這樣oN垂直于zoZ平面的，稱oN為節(jié)線;
再繞新的oZ軸旋轉(zhuǎn)γ角度，稱為自轉(zhuǎn)角。如果通過(guò)節(jié)線可以比較清楚的定義三個(gè)角：
(1) 節(jié)線oN與參考坐標(biāo)系ox軸的夾角為進(jìn)動(dòng)角α;
(2) 隨動(dòng)坐標(biāo)系oZ軸與參考坐標(biāo)系oz軸的夾角為章動(dòng)角β;
(3) 隨動(dòng)坐標(biāo)系oX軸與節(jié)線oN的夾角為自轉(zhuǎn)角γ。
進(jìn)動(dòng)角 (Precession)、章動(dòng)角 (nutation)、自轉(zhuǎn)角 (intrinsic rotation) 是來(lái)自天文學(xué)的三個(gè)概念。我們以地球的運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)明：例如地球繞自轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)(下圖中綠色R標(biāo)示)，由此產(chǎn)生的角度就是自轉(zhuǎn)角;其次，由于地球在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的同時(shí)還受到月球的吸引力，稱月球繞地球的旋轉(zhuǎn)平面為白道面，而地球繞太陽(yáng)的旋轉(zhuǎn)為赤道面，由于赤道和白道之間有5o的差距，因此月球會(huì)對(duì)地球產(chǎn)生一個(gè)扭轉(zhuǎn)作用，致使地球在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的方向上左右搖擺(下圖中紅色N標(biāo)示)，像是向太陽(yáng)點(diǎn)頭一般，由此產(chǎn)生的角度改變稱為章動(dòng)角;最后地球在高速自轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)外力產(chǎn)生的力矩矢與自轉(zhuǎn)軸不重合時(shí)就會(huì)產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致自轉(zhuǎn)角看起來(lái)像是在做圓錐擺動(dòng)(下圖中藍(lán)色P標(biāo)示，陀螺運(yùn)動(dòng)中經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到進(jìn)動(dòng))。
這種運(yùn)動(dòng)就是進(jìn)動(dòng)
在航天器中，進(jìn)動(dòng)角α，章動(dòng)角β 和自轉(zhuǎn)角γ 通常稱為描述剛體的姿態(tài)角，在有的資料中α，β，γ也用ψ，θ，φ來(lái)表示。對(duì)于飛行中的飛機(jī)，其姿態(tài)調(diào)整通常采用偏航 (yaw)，仰角 (pitch) 和滾動(dòng) (roll) 來(lái)描述(如下圖所示)，它們也是歐拉角的一種。值得一提的是歐拉角并不是唯一的，選擇不同旋轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)動(dòng)順序，可以產(chǎn)生24種不同的廣義歐拉角。
偏航/yaw
仰俯/pitch
滾動(dòng)/roll
在理論力學(xué)上，歐拉角被用來(lái)描述剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，將剛體的任意運(yùn)動(dòng)分解為定點(diǎn)(質(zhì)心)的空間運(yùn)動(dòng)和剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)合成，定點(diǎn)所代表的運(yùn)動(dòng)被稱為平動(dòng)(物體上任何一點(diǎn)都具有和定點(diǎn)相同的運(yùn)動(dòng))，然后再利用歐拉角描述剛體的繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。
在剛體的學(xué)習(xí)中，很多質(zhì)點(diǎn)的結(jié)論可推廣應(yīng)用到剛體中。從靜力學(xué)角度考慮，一維情況下限制一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，只需要在該方向上施加約束(或力);在二維平面內(nèi)，需要2個(gè)約束(或力);再到三維空間則需要3個(gè)約束(或力)。如果對(duì)于剛體，一維情況下不需要考慮剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，只有該方向上的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)剛體與質(zhì)點(diǎn)情況一樣;在二維平面內(nèi)，除2個(gè)方向上的約束外，還需要1個(gè)限制剛體旋轉(zhuǎn)的約束(或力偶);在三維空間內(nèi)，就需要3個(gè)方向上的約束，加3個(gè)限制剛體旋轉(zhuǎn)的約束(或力偶)。如果把旋轉(zhuǎn)看作是一種廣義位移，力偶看作是廣義力，從建立控制方程上，剛體和質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別，只是方程數(shù)量增加，求解問(wèn)題的復(fù)雜程度增加。
在這些結(jié)論在動(dòng)力學(xué)中，也同樣適用。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程用牛頓第二定律表示為：
這里i 為1、2、3對(duì)應(yīng)于x、y、z軸。對(duì)于剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，可分解為質(zhì)心的動(dòng)力學(xué)方程加剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，成為：
這里i 仍為1、2、3對(duì)應(yīng)于x、y、z軸，M 表示力偶，α 是角加速度，下標(biāo)i 表示繞某軸的力偶或角加速度。J 被稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，表達(dá)式是
式中，r 表示微元體ρdm到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離。在質(zhì)點(diǎn)模型中，質(zhì)量m 是衡量物體慣性大小的量，質(zhì)量大，慣性就大，就更傾向于保持原運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 就是衡量剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性就大，表明保持原轉(zhuǎn)動(dòng)特性的能力大。換言之，質(zhì)量m 是表征線位移上慣性大小的指標(biāo)，而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表征角位移上慣性大小的指標(biāo)。實(shí)際上，描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，將描述質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量換成轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將施加于質(zhì)點(diǎn)的集中力換成力偶，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的大多數(shù)結(jié)論在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中仍然成立。
在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中，將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的J、M、α 視為廣義的m、F、a，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的許多結(jié)論可以適用于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。例如質(zhì)點(diǎn)平衡與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定義，能量守恒定律，沖量定律等等。盡管剛體與質(zhì)點(diǎn)有這么多的相似，剛體力學(xué)的發(fā)展要晚質(zhì)點(diǎn)力學(xué)許多，牛頓作為經(jīng)典力學(xué)的奠基人仍不會(huì)求解剛體問(wèn)題，到1760年(牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》成書于1687年)歐拉給出了歐拉角描述剛體的繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到1765年發(fā)表《剛體運(yùn)動(dòng)理論》將剛體的運(yùn)動(dòng)分解為剛體上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與剛體繞該點(diǎn)的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。但歐拉解決的是單個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)于由剛體組成的剛體系統(tǒng)問(wèn)題則要借助1788年拉格朗日的《分析力學(xué)》，1834年哈密頓又將其推廣到了哈密頓力學(xué)(分析力學(xué)的另一種體系)。到20世紀(jì)，人們又開(kāi)始關(guān)心運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，由此引發(fā)了非線性動(dòng)力系統(tǒng)的非線性特征和系統(tǒng)控制理論研究，直到今天，仍然是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。
以上就是100唯爾(100vr.com)小編為您介紹的關(guān)于什么是剛體的知識(shí)技巧了，學(xué)習(xí)以上的機(jī)械設(shè)計(jì)：什么是剛體?剛體模型與質(zhì)點(diǎn)模型的區(qū)別與聯(lián)系知識(shí)，對(duì)于什么是剛體的幫助都是非常大的，這也是新手學(xué)習(xí)機(jī)械制造所需要注意的地方。如果使用100唯爾還有什么問(wèn)題可以點(diǎn)擊右側(cè)人工服務(wù)，我們會(huì)有專業(yè)的人士來(lái)為您解答。
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