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解析力學力矩和力偶矩的正負
一、力矩的正負
對于初次接觸力矩概念的學生,判斷力矩正負有一定的認知挑戰(zhàn)性(對于教師或已掌握的自是“會者不難”),這需要通過形象的例子縮小認知梯度。
力矩的正負需要從物體的定軸轉(zhuǎn)動談起。
物體定軸轉(zhuǎn)動可以用圓盤在其平面內(nèi)轉(zhuǎn)動表示。為了表示圓盤的運動狀態(tài),除了要知道轉(zhuǎn)動快慢之外,我們還需要知道轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)向。顯然轉(zhuǎn)向只有兩個狀態(tài),一個是逆指針(圖1a),另一個是順時針(圖1b)。
圖1
對只有兩個狀態(tài)的物理量,自然可以用正號和負號來區(qū)分。通常選擇逆時針為正,順時針為負(這種選法與空間情形的右手螺旋法則一致)。按此選法,一個帶正負號的量就既能表示定軸轉(zhuǎn)動的快慢,也能表示圓盤轉(zhuǎn)向了。
如果圓盤轉(zhuǎn)向為逆時針(正號),某個力有使轉(zhuǎn)動加速的效果,那么這個力對轉(zhuǎn)軸之矩就是正的。反之,如果該力使逆時針轉(zhuǎn)動的圓盤減速,則此力對轉(zhuǎn)軸之矩就是負的。
力可以通過使物體獲得加速度來體會,但是為了使研究結(jié)果有一般性,我們往往盡可能只討論力(暫時把物體放到一邊去)。對力矩也是這樣,即使沒有物體,我們也能討論力矩。
物體既然沒有了,轉(zhuǎn)動軸當然也就不存在。此時,為了表征力的轉(zhuǎn)動效果,我們是計算力對矩心之矩—可以把這個矩心形象地想象為定軸轉(zhuǎn)動的軸。
想象在矩心處有一垂直于紙面的軸(見圖2),伸出右手,讓大拇指沿軸方向,四指卷曲去抓住這根軸。如果力的作用順著上述四指從指根到指尖,則該力對矩心的矩為正,比如圖中的F1。
圖2
若想象紙面上有個鬧鐘,則上述四指從指根到指尖卷曲的轉(zhuǎn)向與鐘的逆時針轉(zhuǎn)向一致,這就是逆時針轉(zhuǎn)向的矩為正的原因。反之,如果力對矩心的作用與四指從指根到指尖卷曲轉(zhuǎn)向相反,如圖中的F2,則該力對矩心的矩為負,對應的轉(zhuǎn)向為順時針轉(zhuǎn)向。
如果還是沒感覺,那么從力矢的尾端向始端畫個弧,矩心要被這個弧和力矢包含在內(nèi)。如果從力尾端到力始端的弧是逆時針的,則該力對矩心的矩是正的,否則為負。見圖3。
圖3
二、力偶矩的正負
力偶可以理解為兩個力來配對,配對條件是它們大小相等,方向相反。力偶矩的正負號當然要與力矩的一致,即“順時針為負,逆時針為正”規(guī)則,也可用圖2來示意。若無示意圖時,當然就使用這個規(guī)則,如M=40 N·m表示逆時針轉(zhuǎn)向的力矩,大小為40 N·m,而M=-30 N·m表示順時針轉(zhuǎn)向的力矩,大小為30 N·m。
力學分析喜歡使用受力圖。一旦有受力圖,總是把圖形示意的轉(zhuǎn)向為參考轉(zhuǎn)向,比如圖4中四個帶箭頭的弧標明了參考轉(zhuǎn)向,弧箭頭旁邊的符號M1,M2,M3,M4表示力矩的數(shù)值,它要另行補充,比如 M1=10 N·m , M2=-20 N·m, M=30 N·m, M=-40 N·m。
圖4
M1=10 N·m的數(shù)值與圖示的弧箭頭轉(zhuǎn)向一起表示這是大小為10 N·m的逆時針轉(zhuǎn)向力偶。也不能因M2=-20 N·m中有負號而認為它是順時針轉(zhuǎn)向,而是因為有了圖形,M2數(shù)值和圖示轉(zhuǎn)向一起表明是大小為20N·m順時針轉(zhuǎn)向作用的力偶。M=30 N·m也不表示它是逆時針,參考圖示轉(zhuǎn)向,它是大小為30 N·m的順時針轉(zhuǎn)向作用的力偶。類似地,M=-40 N·m與圖示參考轉(zhuǎn)向一起,表示大小為40 N·m的逆時針轉(zhuǎn)向作用的力偶。
三、寫平衡方程
在寫矩平衡方程時,我們會選擇一個參考正轉(zhuǎn)向(如無明確聲明,則默認逆時針為參考正轉(zhuǎn)向)。參考受力圖,如果力對矩心的轉(zhuǎn)動作用與參考正轉(zhuǎn)向一致則在方程中為正號,反之,當力對矩心的轉(zhuǎn)動作用與參考正轉(zhuǎn)向相反,該力的矩在平衡方程中取負號。
對不同的矩心,力矩的正負號可能會變。
力偶處理與上述力矩類似,但是正負號(和大小都)不因矩心而變。
參考文獻
來源:圖形公式不煩惱公眾號(ID:ArtByMathematica),作者:陳奎孚。 .理論力學精細輔導.北京:清華大學出版社.2018.9
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